Системы счисления

Системы счисления - совокупность приемов и правил для записи любого числа с помощью ограниченного количества знаков.
Существующие системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные.

Позиционные системы счисления – такие системы счисления, где значимость числа определяется его местоположением в записи числа.
Любое число Х в позиционной системе счисления с основанием q можно представить в виде полинома:
                     (1),
где q- основание системы счисления – количество цифр, необходимых для записи любого числа,
qi- весовой коэффициент,
хi-разрядный коэффициент.
Разряды с неотрицательными степенями q отражают целую часть числа, а с отрицательными степенями – дробную часть числа.
Примеры позиционных систем счисления: 25(₁₀), Е56(₁₆), 100110(₂), 470(₈).
При заданном числе разрядов и заданном основании системы счисления, может быть N=qn+m различных наборов чисел.

Непозиционные системы счисления, соответственно, такие системы счисления, где значимость числа не определяется его местоположением в записи числа. Например, римская система записи числа: XXIV, III, VI.
   Десятичная система счисления используется человеком в обыденной жизни. При использовании в технике десяти цифр десятичной системы счисления предполагается использование 10 различных уравнений напряжения. В этом случае надо повысить пороги между соседними уровнями напряжения, чтобы не снизить устойчивость к помехам или значительно усложнить устройство распознавания уровней напряжения. Сколько разрядов – столько устройств необходимо.
   С другой стороны чем выше q (основание системы счисления), тем меньше надо разрядов (хi) меньше линий, ниже устройств поразрядного анализа.
   Однако все же критерием выбора основания системы счисления, используемым в технических системах, является минимизация аппаратных затрат при достижении достаточной помехоустойчивости.
   Математические расчеты дали оптимальную величину основания системы счисления q = е » 2.71, что технически реализовать сложно и нецелесообразно.
   В технике применяется двоичная система счисления (q=2) c  цифровыми знаками 0 и 1.
   Так же встречается 8-ричная и 16-ричная система счисления. Само число изображается в 2-ой системе счисления, а адрес числа в 8-ой или 16-ой системе счисления. Пример чисел от 0 до 16 в различных системах счисления представлен в таблице 1.

Таблица 1Пример представления чисел в различных системах счисления

Разработан ряд правил перевода чисел из одной системы счисления в другую.
Перевод из q –ичной системы счисления в 10 –ую осуществляется по формуле (1).
Пример:   0110,11₂=0*2³+1*2²+1*2¹+0*2⁰+1*2^-1+1*2^-2=4+1+0,5+0,25=5,75₁₀.

Перевод из 10 –чной системы счисления в q –ичнуюосуществляется следующим образом:

• целая часть числа делится на основание новой системы счисления до тех пор, пока частное от деления не станет меньше величины основания новой системы счисления. Результат записывается из остатков от деления, начиная с последнего частного.
• дробная часть числа умножается на основание новой системы счисления, целая часть числа отбрасывается, и операция умножения производится до достижения требуемой точности (количества знаков после запятой). Результат записывается из целых частей результатов произведений, производимых сначала.

Пример:

Ответ: 39519₁₀=9A5F₁₆.

Пример:
      0,7821502 
х                16
     12,514403
х                16
       8,230448
х         16
        3,687168
х          16
       10,994688
Ответ:    0.7821502₁₀=0,С83А₁₆.

Перевод из 8-чной системы в 2-чную и из 16-чной в 2–чную:
производится из соображений того, что 2³=8 и 2⁴=16. Поэтому в исходном 8-чном или 16-чном числе цифры исходного кода заменяются на двоичные 3-х (2³=8) или 4-х (2⁴=16) празрядные комбинации.
   На том же основан перевод чисел из 2–чной системы счисления в 8-чную и в 16-чную, только теперь данное двоичное многоразрядное число разбивается на группы по 3 или 4 разряда, соответственно, от предполагаемой запятой, разделяющей целую и дробную части двоичного числа.

Пример:
4701(₈) = 100 111 000 001(₂);
11.0110.00100.0111(₂) = 3647(₁₆).

Вернутся к содержанию...